转载自知乎用户：@0003抽象代数不抽象专栏。
前言
群是代数学中最基本的代数结构，群论也是抽象代数中最基础的一部分。群是某个群及其在该群上规定的某种二元运算的集合，并且该集合满足一定的条件。集合中的元素可以是数，也可以是集合，在群论中都可以抽象为互异的元素。
如果需要应对抽象代数的考试，请适当多做一些习题。如果不是，请适当多看一些习题。
本章主要包括群的定义、基本性质、群的阶与元素的阶、循环群等基本概念。有关子群、陪集、Lagrange定理、群同态与群同构、群同态基本定理等内容放在下一篇文章中。在本科低年级的抽象代数课程中，群论通常占教学内容的一半。
1.1 群的定义
群有几种不同的等价定义，这里先给出其中广泛采用的一种。
群的定义
如果一个非空集合 $G$ 上定义了一个二元运算 $\bullet$ ，满足如下性质：
(1) 封闭性, 即对于 $\forall a, b \in G$, 有 $a \bullet b \in G$;
(2) 结合律, 即对于 $\forall a, b, c \in G$, 有 $(a \bullet b) \bullet c=a \bullet(b \bullet c)$;
(3) 存在 $e \in G$, 使得 $\forall a \in G$, 有 $e \bullet a=a$;
(4) 对于 $\forall a \in G$, 存在 $b \in G$, 使得 $b \bullet a=e$;
则称 $G$ 关于运算 $\bullet$ 构成一个群, 记为 $(G, \bullet)$, 或简记为 $G$ 。
上述定义中，第 $(3)$ 条中的元素 $e$ 称为单位元 (identity)，第 $(4)$ 条中的 $b$ 称为 $a$ 的逆元 (inverse)， 通常也记作 $a^{-1}$ 。只成立 (1) 的集合 $G$ 称为原群 (magma) ; 只成立 (1)(2) 的集合 $G$ 称为半群 (semigroup) ; 只成立 (1)(2) (3) 的集合 $G$ 称为幺半群 (monoid) 。例如，在 $\mathbb{R}^{3}$ 上的向量积由于不满足结合律，无法构成半群。全体正整数对于整数加法构成半群，全体自然数对于整数加法构成幺半群，全体整数对于整数加法构成群。与上述定义等价的一种定义可以称为群的单边定义，即：
群的单边定义
如果一个非空集合 $G$ 上定义了一个二元运算 $\bullet$ ，满足如下性质:
(1) 封闭性, 即对于 $\forall a, b \in G$, 有 $a \bullet b \in G ;$
(2) 结合律, 即对于 $\forall a, b, c \in G$, 有 $(a \bullet b) \bullet c=a \bullet(b \bullet c) ;$
(3’) 存在 $e \in G$, 使得 $\forall a \in G$, 有 $e \bullet a=a$;
(4’) 对于 $\forall a \in G$, 存在 $b \in G$, 使得 $b \bullet a=e$,
则称 $G$ 关于运算 $\bullet$ 构成一个群，记为 $(G, \bullet)$, 或简记为 $G$ 。
上述定义中, 第 $\left(3^{\prime}\right)$ 条中的元素 $e$ 称为左单位元, 第 $\left(4^{\prime}\right)$ 条中的 $b$ 称为 $a$ 的左逆元。群的单边定义与定义的等价性通常作为教科书的习题, 证明非常简单。同样地, 有右单位元和右逆元的 半群也是群。
思考：有左单位元和右逆元的半群是群吗? 即在半群 $G$ 中，
(3’) 存在 $e \in G$, 使得 $\forall a \in G$, 有 $e \bullet a=a$;
(4’’) 对于 $\forall a \in G$, 存在 $b \in G$, 使得 $a \bullet b=e$,
上述思考中，对于 “右逆元” 的定义可能会产生歧义, 这里明确第 (4’’) 条中的 $e$ 指的是第 (3’) 条中的左单位元，否则没有讨论的价值。答案是, 这样的半群并不能构成群, 而是一个可以 称之为left-right system的结构。例：规定集合中所有元素的运算规则为 $a \bullet b=b$, 则可以证 明该运算封闭、满足结合律，且集合中存在左单位元和右逆元，但并不存在右单位元。这里再给出 一种群的等价定义，其等价性也很容易证明。
群的第二定义 如果一个非空集合 $G$ 上定义了一个二元运算 $\bullet$ ，满足如下性质：
(1) 封闭性, 即对于 $\forall a, b \in G$, 有 $a \bullet b \in G$;
(2) 结合律, 即对于 $\forall a, b, c \in G$, 有 $(a \bullet b) \bullet c=a \bullet(b \bullet c)$;
(5) 对于 $\forall a, b \in G$, 方程 $x \bullet a=b$ 与 $a \bullet y=b$ 在 $G$ 中都有解,
则称 $G$ 关于运算 $\bullet$ 构成一个群, 记为 $(G, \bullet)$, 或简记为 $G$ 。
Remarks：群是一个带有某种运算的集合。这个运算如何表示并不重要，可以是加法和乘法, 也可 以是其他的运算。在群论中通常将运算符号省略不写，并不失一般性地称群中的运算为乘法。乘法 群中的单位元通常写作1或 $e$; 加法群中的单位元通常写作0，逆元通常写作 $-a$.
群的分类方式有很多，最常见的是根据群中元素的个数分为有限群和无限群。另外，还有一种重要的群称为交换群，定义如下：
交换群的定义
如果一个群 $G$ 中的任意两个元素 $a, b$ 都满足 $a b=b a$, 则该群称为交换群或Abel群。
后续部分请参看原文。
