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算法基础课笔记（十七）

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例题2：847. 图中点的层次（模板题）

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给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环。
所有边的长度都是 1，点的编号为 1∼n。
请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果从 1 号点无法走到 n 号点，输出 −1。

输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 m 行，每行包含两个整数 a 和 b，表示存在一条从 a 走到 b 的长度为 1 的边。

输出格式
输出一个整数，表示 1 号点到 n 号点的最短距离。

数据范围
1≤n,m≤10^5
输入样例：
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输出样例：
1

BFS遍历图求最短路。

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#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
#define IOS \
    ios::sync_with_stdio(false); \
    cin.tie(0); \
    cout.tie(0)
const int N = 1e5+ 5;
int h[N], e[N], ne[N], idx;
int d[N],q[N];
int n,m;

void add(int a, int b)  // 添加一条边a->b
{
    e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}

int bfs(){
    q[0] = 1;
    int head = 0,tail = 0;
    
    memset(d,-1,sizeof d);
    d[1] = 0;
    
    while (head <= tail){
        int t = q[head++];
        for (int i = h[t]; ~i;i = ne[i]){
            int j = e[i];
            if (d[j] == -1){
                d[j] = d[t] + 1;
                q[++tail] = j;
            }
        }
    }
    return d[n];// 能到达n号点则返回距离，否则返回-1
}

int main(){
    IOS;
    
    memset(h, -1, sizeof h);
    cin >> n >> m;
    int a,b;
    for (int i = 0; i < m; i ++ ){
        cin >> a >> b;
        add(a, b);
    }
    cout << bfs() << '\n';
    return 0;
}

3.4：有向图的拓扑排序（topological sort）

参考资料： https://time.geekbang.org/column/article/76207。

拓扑排序是基于有向无环图（也称为拓扑图）的一个算法。可以用Kahn 算法和DFS算法来实现。

在很多时候，拓扑排序的序列并不是唯一的。

拓扑排序其实就是基于有向无环图，遍历所有的结点，每两个结点之间有先后关系。并且在搜索下一个结点的时候，这个结点之前的结点已经全部被搜索过。

image-20210817135909534

首先得了解入度和出度的概念。

拓扑排序的起点必须是入度为0的点。

拓扑排序之Kahn 算法：根据入度的性质来实现拓扑排序，利用了贪心思想。

对于每个顶点，计数其入度，然后找到一个入度为0的顶点，如果不存在这样的顶点，则必定存在圈。因为入度为0的顶点没有其他顶点的有向边进入，表明可以将此顶点放在拓扑排序的首位，然后将该顶点的有向边所连接的顶点的入度分别减去1，再寻找下一个入度为0的顶点，放到拓扑排序的第二位，依此循环，直到将所有顶点放入拓扑排序序列中，如果尚存在不能放入排序的顶点，则表明图中存在圈。在寻找入度为0的顶点过程中，如果同时有多个入度为0的顶点，则有多种不同的拓扑排序，顶点选择的先后顺序不同会产生不同的拓扑排序。

参考自：《Programming Challenges》

在做拓扑排序的时候可以顺便判断一下图中是否存在环。（存在拓扑序列等价于无环）

image-20210817154736186

例题：848. 有向图的拓扑序列（模板题）

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给定一个 n 个点 m 条边的有向图，点的编号是 1 到 n，图中可能存在重边和自环。
请输出任意一个该有向图的拓扑序列，如果拓扑序列不存在，则输出 −1。
若一个由图中所有点构成的序列 A 满足：对于图中的每条边 (x,y)，x 在 A 中都出现在 y 之前，则称 A 是该图的一个拓扑序列。

输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。
接下来 m 行，每行包含两个整数 x 和 y，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边 (x,y)。

输出格式
共一行，如果存在拓扑序列，则输出任意一个合法的拓扑序列即可。
否则输出 −1。

数据范围
1≤n,m≤10^5
输入样例：
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1 2
2 3
1 3
输出样例：
1 2 3
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#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
#define IOS \
    ios::sync_with_stdio(false); \
    cin.tie(0); \
    cout.tie(0)
const int N = 1e5+ 5;
int h[N],e[N],ne[N],idx;
int n,m;
int d[N],q[N];

void add(int a,int b){
    e[idx] = b,ne[idx] = h[a],h[a] = idx ++;
}

bool toposort(){
    int head = 0,tail = -1;// 初始化队列

    for (int i = 1;i <= n;i ++){
        if (!d[i]) q[++tail] = i;// 将所有入度为0的点都加入队列
    }

    while (head <= tail){// 队列非空
        int t = q[head++];// 取出队头并出队

        for (int i = h[t]; ~i;i = ne[i]){// 拓展队头的所有出边j
            int j = e[i];
            d[j] --;// 删除t-->j这条边，也就是j的入度-1
            if (!d[j]) q[++tail] = j;// 当j的入度为0时，加入队列
        }
    }
    return tail == n-1;// 刚好有0~n-1共n个点入队时，排序完毕
}

int main(){
    IOS;
    memset(h,-1,sizeof h);

    cin >> n >> m;
    int x,y;
    while (m--){
        cin >> x >> y;
        add(x,y);
        d[y] ++;// 入度++
    }

    if(toposort()){// 拓扑排序的顺序也就是入队顺序！队列的入队顺序等于出队顺序！
        for (int i = 0;i < n;i ++) cout << q[i] << ' ';
    }
    else cout << -1;// 若不是所有点都入队说明存在环
    return 0;
}

3.5：练习

3.5.1BFS.acwing.845. 八数码（模板题）

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在一个 3×3 的网格中，1∼8 这 8 个数字和一个 x 恰好不重不漏地分布在这 3×3 的网格中。
例如：
1 2 3
x 4 6
7 5 8
在游戏过程中，可以把 x 与其上、下、左、右四个方向之一的数字交换（如果存在）。
我们的目的是通过交换，使得网格变为如下排列（称为正确排列）：
1 2 3
4 5 6
7 8 x
例如，示例中图形就可以通过让 x 先后与右、下、右三个方向的数字交换成功得到正确排列。
交换过程如下：
1 2 3   1 2 3   1 2 3   1 2 3
x 4 6   4 x 6   4 5 6   4 5 6
7 5 8   7 5 8   7 x 8   7 8 x
现在，给你一个初始网格，请你求出得到正确排列至少需要进行多少次交换。

输入格式
输入占一行，将 3×3 的初始网格描绘出来。
例如，如果初始网格如下所示：
1 2 3 
x 4 6 
7 5 8 
则输入为：1 2 3 x 4 6 7 5 8

输出格式
输出占一行，包含一个整数，表示最少交换次数。

如果不存在解决方案，则输出 −1。

输入样例：
2  3  4  1  5  x  7  6  8
输出样例
19

求最少步数，用BFS做。

如何转化为BFS求解？

将图形的每个状态记为图的一个点，每次数字交换也就是加上一条a到b的边，从状态1转移到状态2，如果能从初始状态转移到终止状态，也就找到一条最短路，否则不存在解决方案。

本题的难点在于图形的状态表示非常复杂，难以想到建图方式。

bfs需要把遍历过的状态标记，而且需要dist数组记录距离，那么，需要开辟一个数组使得这个数组中的元素，能够和矩阵的所有状态（长度为9的字符串的全排列）一一对应。

状态可以用queue<string> q来表示，距离可以用unordered_map<string,int> dist来表示。

用map效率更低，所以用unordered_map。

如何进行状态转移？

将状态1的字符串还原成3*3矩阵，再将矩阵中相应元素交换位置得到状态2，再将状态2变成字符串。

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参考题解： https://www.acwing.com/solution/content/15149/。

算法1：BFS+哈希表。

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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <queue>
#include <unordered_map>
using namespace std;
#define IOS \
    ios::sync_with_stdio(false); \
    cin.tie(0); \
    cout.tie(0)
queue<string> q;
unordered_map<string,int> d;

int bfs(string start){
    q.push(start);// 起始状态入队
    d[start] = 0;// 起始状态距离初始化为0

    string end = "12345678x";

    int dx[] = {-1,1,0,0},dy[] = {0,0,-1,1};// 坐标偏移量
    while (q.size()){
        string t = q.front();
        q.pop();// 取队头并出队

        int dist = d[t];// 存储当前状态距离
        if (t == end) return dist;// 走到终止状态，退出
        int k = t.find('x');
        int x = k / 3,y = k % 3;// 一维数组下标-->二维数组下标小技巧
        for (int i = 0;i < 4;i ++){
            int a = x + dx[i],b = y + dy[i];
            if (a >= 0 && a < 3 && b >= 0 && b < 3){
                // 这个string内部字符的swap操作太妙了！！！
                swap(t[k],t[3*a+b]);// 状态转移，二维数组下标-->一维数组下标
                if (!d.count(t)){// t状态未遍历过
                    d[t] = dist + 1;// 更新距离
                    q.push(t);// 入队
                }
                swap(t[k],t[3*a+b]);// 还原状态，为下一种转换情况做准备
            }
        }
    }// 无法转换到目标状态，返回-1
    return -1;
}

int main(){
    IOS;
    string start;
    char c;
    for (int i = 0;i < 3;i ++)
        for (int j = 0;j < 3;j ++){
            cin >> c;
            start += c;
        }
    
    cout << bfs(start) << '\n';
    return 0;
}

算法2：BFS+手写哈希。

参考题解： https://www.acwing.com/solution/content/21288/。

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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <queue>
using namespace std;
typedef unsigned long long ULL;
#define IOS \
    ios::sync_with_stdio(false); \
    cin.tie(0); \
    cout.tie(0)
const int M = 1e7,P = 131;
ULL h[11];
int d[M];
queue<string> q;

int gethash(string str){
    h[0]=0;
    for(int i=1;i< 9;i++)
    {
        h[i]=h[i-1]*P+(str[i-1]-'0');

    }
    return h[8]%M;// 必须Mod M，否则哈希值太大，作为数组下标会越界
}

int bfs(string start){
    q.push(start);// 起始状态入队
    d[gethash(start)] = 0;// 起始状态距离初始化为0

    string end = "12345678x";

    int dx[] = {-1,1,0,0},dy[] = {0,0,-1,1};// 坐标偏移量
    while (q.size()){
        string t = q.front();
        q.pop();// 取队头并出队

        int dist = d[gethash(t)];// 存储当前状态距离
        if (t == end) return dist;// 走到终止状态，退出
        int k = t.find('x');
        int x = k / 3,y = k % 3;// 一维数组下标-->二维数组下标小技巧
        for (int i = 0;i < 4;i ++){
            int a = x + dx[i],b = y + dy[i];
            if (a >= 0 && a < 3 && b >= 0 && b < 3){
                swap(t[k],t[3*a+b]);// 状态转移，二维数组下标-->一维数组下标
                if (!d[gethash(t)]){// t状态未遍历过
                    d[gethash(t)] = dist + 1;// 更新距离
                    q.push(t);// 入队
                }
                swap(t[k],t[3*a+b]);// 还原状态，为下一种转换情况做准备
            }
        }
    }// 无法转换到目标状态，返回-1
    return -1;
}

int main(){
    IOS;
    string start;
    char c;
    for (int i = 0;i < 3;i ++)
        for (int j = 0;j < 3;j ++){
            cin >> c;
            start += c;
        }
    
    cout << bfs(start) << '\n';
    return 0;
}

算法3：BFS+全排列哈希。

参考题解：https://www.acwing.com/solution/content/2481/。

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